Question

平面直角坐標系中邊長為2的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點O在原點．如圖，將正方形OABC繞O點順時針旋轉，當A點第一次落在直線y＝x上時停止旋轉，旋轉過程中，AB邊交直線y＝x于點M，BC邊交x軸于點N．

(1)求此時OA旋轉的度數(shù)；

(2)旋轉過程中，當MN與AC平行時，求正方形OABC旋轉的度數(shù)；

(3)設△MBN的周長為p，在正方形OABC旋轉的過程中，p值是否有變化？請證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

解：延長BA交軸于E點， 　　(1)∵直線是一、三象限的角平分線 　　∴∠MOE＝∠MON＝×90°＝45° 　　∴A點第一次落在直線y＝x上時停止旋轉時，OA旋轉了45°；(2分) 　　(2)∵四邊形ABCO是正方形 　　∴∠B＝∠OAB＝∠OCB＝∠AOC＝90°，OA＝OC， 　　且∠BAC＝∠BCA＝45° 　　∵MN∥AC，∴∠BMN＝∠BAC＝45°，∠BNM＝∠BCA＝45° 　　∠BMN＝∠BNM．∴BM＝BN．(4分) 　　又∵BA＝BC， 　　∴BA－BM＝BC－BN 　　即AM＝CN． 　　又∵∠OAM＝∠OCN＝90°，OA＝OC， 　　∴△OAM≌△OCN．(6分) 　　∴∠AOM＝∠CON． 　　∴∠AOM＝∠CON＝(∠AOC－∠MON) 　�。�(90°－45°)＝22.5°， 　　∴當MN和AC平行時，正方形OABC旋轉的度數(shù)為22.5°(7分) 　　(3)值無變化，理由如下： 　　∵由旋轉的性質(zhì)得：∠AOE＝∠CON．(8分) 　　又∵∠OAE＋∠OAB＝180°，∠OAB＝90° 　　∴∠OAE＝90° 　　∴∠OAE＝∠OCN＝90°， 　　又∵OA＝OC 　　∴△OAE≌△OCN．(9分) 　　∴OE＝ON，AE＝CN 　　又∵∠MOE＝∠MON＝45°， 　　OM＝OM， 　　∴△OME≌△OMN，(10分) 　　∴MN＝ME＝AM＋AE． 　　∴MN＝AM＋CN． 　　∴＝MN＋BN＋BM＝AM＋CN＋BN＋BM＝AB＋BC＝4．(11分) 　　∴在正方形OABC旋轉的過程中值無變化．(12)