Question

P是質(zhì)數(shù)，P²+2也是質(zhì)數(shù)，則P⁴+1921=    ．

Answer 1

【答案】分析：首先由P是質(zhì)數(shù)，可分別從p為2或奇數(shù)去分析，又由P²+2也是質(zhì)數(shù)，可得p肯定為奇數(shù)；然后可將p寫(xiě)成6k-3，6k-1和6k+1，再分別分析，即可得p只能為3，代入P⁴+1921即可求得答案．
解答：解：∵p是質(zhì)數(shù)．
∴如果p是2，那么P²+2=6不是質(zhì)數(shù)．
∴p肯定為奇數(shù)．
∴p可以寫(xiě)成6k-3，6k-1和6k+1．
當(dāng)p=6k-3的時(shí)候，p只可能為3，否則p不為奇數(shù)．
當(dāng)p=3時(shí)，p²+2=11，為質(zhì)數(shù)，成立；
當(dāng)p≠3時(shí)，p只可能為6k-1或者6k+1．
p²+2=36k²+3-12k或p²+2=36k²+3+12k，
∴定能被3整除，
∴P²+2不為質(zhì)數(shù)．
∴p只能為3，
∴P⁴+1921=2002．
故答案為：2002．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了質(zhì)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是排除p為2，然后將p寫(xiě)成6k-3，6k-1和6k+1去分析，注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．