Question

4．臺(tái)球桌的形狀是一個(gè)長(zhǎng)方形，當(dāng)母球被擊打后可能在不同的邊上反彈，為了母球最終擊中目標(biāo)球，擊球者需作出不同的設(shè)計(jì)，確定擊球的方向，因此，臺(tái)球既復(fù)雜又有趣，臺(tái)球運(yùn)動(dòng)被稱(chēng)為智慧和技能的較量．
問(wèn)題1：如圖（1），如果母球P擊中桌邊點(diǎn)A，經(jīng)桌邊反彈擊中相鄰另一條桌邊，再次反彈，那么母球P經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)BC與PA平行嗎？證明你的判斷．
問(wèn)題2：在一張簡(jiǎn)易球桌ABCD上，如圖（2）所示，目標(biāo)球F、母球E之間有一個(gè)G球阻擋，擊球者想通過(guò)擊打母球E先撞球臺(tái)的CD邊，過(guò)一次反彈后再撞擊F球，他應(yīng)將E球打到CD邊上的哪一點(diǎn)？
請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖（2）中作出這一點(diǎn)．
問(wèn)題3：如圖（3），在簡(jiǎn)易球臺(tái)ABCD上，已知AB=4，BC=3．母球P從角落A以45°角擊出，在桌子邊緣回彈若干次后，最終必將落入B（填A(yù)、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，與桌子邊緣共回彈了5 次；若AB=100，BC=99，母球P還終將會(huì)落入某個(gè)角落的球袋，則它在落入球袋之前，在桌子邊緣總共回彈了197 次．

Answer 1

分析 （1）類(lèi)似于光線(xiàn)的反射問(wèn)題，可通過(guò)計(jì)算同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，得出平行的結(jié)論；
（2）入射角等于反射角，找出E點(diǎn)關(guān)于A(yíng)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E₁，連接E₁F交AB于H根據(jù)對(duì)稱(chēng)圖形的特點(diǎn)及對(duì)頂角相等得出∠BHF=∠E₁HA=∠EHA，求出E₁N及NF的長(zhǎng)運(yùn)用勾股定理求出E₁F的長(zhǎng)，因?qū)��?yīng)邊EH=E₁H，E₁H即為所求；
（3）根據(jù)當(dāng)AB=4，AD=3時(shí)的例圖及彈子的運(yùn)行規(guī)律：每一條運(yùn)行軌跡都是一個(gè)正方形的對(duì)角線(xiàn)，畫(huà)出圖形，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖，

∵∠PAD=∠BAE，∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE，
∴∠PAB=180°-2∠BAE．
同理，∠ABC=180°-2∠ABE．
∵∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠PAB+∠ABC=360°-2（∠BAE+∠ABE）=180°．
∴BC∥PA．
（2）可作點(diǎn)E關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E₁，連接E₁F，E₁F與AB交于點(diǎn)H，球E的運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)就是EH→HF，
過(guò)點(diǎn)F作AB的平行線(xiàn)交E₁E的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，
；
（3）如圖，

母球P從角落A以45°角擊出，在桌子邊緣回彈若干次后，最終必將落入B（填A(yù)、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，與桌子邊緣共回彈了5次；
設(shè)由DC邊反彈，彈子撞擊BC邊的位置距離C點(diǎn)為K格，從BC邊反彈后，彈子撞擊AB邊的位置距離B點(diǎn)為（99-k）格，距離A點(diǎn)為（k+1）格經(jīng)過(guò)AB邊反彈后，彈子撞擊AD邊的位置距離A點(diǎn)為（k+1）格，距離D點(diǎn)為[99-（K+1）]格，經(jīng)AD反彈，彈子撞擊DC邊的位置距離D點(diǎn)為[99-（k+1）]格，距離C點(diǎn)為100-[99-（K+1）]=K+2格再撞擊BC邊的位置距離C點(diǎn)為k+2格，即比前一次的位置下移2格，所以要撞擊邊的次數(shù)為100+99-2=197次．

點(diǎn)評(píng) 此題考查作圖-應(yīng)用與實(shí)際作圖，讀懂題意，根據(jù)題意總結(jié)出彈子的運(yùn)行規(guī)律，畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵．