Question

如圖，在同一直角坐標系中，正比例函數y=kx與反比例函數y=

2 3

x

的圖象分別交于第一、三象限的點B，D，已知點A（-a，O）、C（a，0）．
（1）直接判斷并填寫：四邊形ABCD的形狀一定是

平行四邊形

；
（2）①當點B為（p，2）時，四邊形ABCD是矩形，試求p，k，和a的值；
②觀察猜想：對①中的a值，能使四邊形ABCD為矩形的點B共有幾個？（不必說理）
（3）試探究：四邊形ABCD能不能是菱形？若能，直接寫出B點的坐標；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）四邊形ABCD為平行四邊形，理由為：由A與C的坐標得到OA與OC相等，又根據對稱的性質得到OB與OD相等，然后根據對角線平分的四邊形為平行四邊形得證；
（2）①把點B（p，2）代入反比例函數的解析式，即可求得p的值，然后代入正比例函數y=kx，即可求得k的值，又由四邊形ABCD是矩形，可得OB=OC，即可求得a的值；
②由a=

7

，即可確定出A與C的坐標，又根據矩形的對角線互相平分且相等，得到OB與OC相等都等于

7

，設出點B的坐標為（x，y），代入到反比例解析式中得到一個方程，由兩點的距離公式，列出另一個方程，兩方程聯立即可求出x與y的值，進而得出點B的坐標；
（3）利用反證法來證，先假設四邊形ABCD是菱形，根據菱形的對角線互相平分且互相垂直，得到AC與BD垂直，又A與C在x軸上，故B與D在y軸上，與雙曲線y=

2 3

x

不與坐標軸相交矛盾，則可證得四邊形ABCD不能是菱形．

解答：解：（1）是平行四邊形．
理由如下：
∵A（-a，0）、C（a，0），
∴OA=OC，
由對稱性可知OB=OD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形；
故答案為：平行四邊形；

（2）①∵點B為（p，2），
∴

2 3

p

=2，
解得：p=

3

，
∴點B（

3

，2），
∴

3

k=2，
解得：k=

2 3

3

，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OB=

1

2

AC，OC=

1

2

BD，
∴OB=OC，
∵OB=

( 3 )2+22

=

7

，
∴a=

7

；

②對①中的a值，能使四邊形ABCD為矩形的點B共有2個．
理由：當a=

7

時，點C的坐標為（

7

，0），點A的坐標為（-

7

，0），
若四邊形ABCD是矩形，則有OB=OC=

7

，
設點B的坐標為（x，y），得：

x2+y2=( 7 )2 xy=2 3

，
解得：

x= 3 y=2

或

x=2 y= 3

（負值舍去），
∴點B的坐標為（

3

，2）或（2，

3

）；

（3）四邊形ABCD不能是菱形．
理由：若四邊形ABCD是菱形，
則BD⊥AC，
∵點A、點C在x軸上，
∴直線BD與y軸重合，這與“雙曲線y=

2 3

x

不與坐標軸相交”矛盾，
∴四邊形ABCD不可能是菱形．

點評：點評：此題考查了平行四邊形、矩形的性質，反證法以及一次函數與反比例函數的綜合．要求學生掌握平行四邊形及矩形的性質，理解反證法的步驟，綜合運用所學知識，培養(yǎng)了學生發(fā)現問題，分析問題及解決問題的能力．學生在作第二問，求B坐標時注意B點在第一象限這個條件．其中反證法的步驟為：先假設命題的結論不成立，然后推導出與定義、公理、已證的定理或已知條件相矛盾的結果，從而證明命題的結論一定成立．