Question

（2012•泰順縣模擬）如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式及頂點M坐標；
（2）在拋物線的對稱軸上找到點P，使得△PAC的周長最小，并求出點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法將B（3，0），C（0，3）兩點代入解析式求出即可，再利用配方法求出頂點坐標即可；
（2）利用點A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，連接BC與拋物線對稱軸交于一點，即為所求點P，再利用△PHB∽△COB求出P點坐標即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c過B（3，0），C（0，3）兩點，
∴c=3，
-9+3b+3=0，解得b=2．
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
則頂點M為（1，4）．

（2）如圖1，∵點A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
∴連接BC與拋物線對稱軸交于一點，即為所求點P．
設(shè)對稱軸與x軸交于點H，
∵PH∥y軸，
∴△PHB∽△COB．
∴

PH

CO

=

BH

BO

．
由題意得BH=2，CO=3，BO=3，
∴PH=2．
∴P（1，2）．

點評：此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．