Question

【題目】對于平面直角坐標系O中的點P和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在兩個點M，N，使得∠MPN=60°，則稱P為⊙C 的關聯(lián)點。已知點D（，），E（0，-2），F(xiàn)（，0）

（1）當⊙O的半徑為1時，

①在點O，D，E，F(xiàn)中，⊙O的關聯(lián)點是______ ____；

②如果G（0，t）是⊙O的關聯(lián)點，則t的取值范圍是 ；

（2）如果線段EF上每一個點都是⊙O的關聯(lián)點，那么⊙O的半徑最小為 ；

（3）Rt⊿ABC中，∠C=90，BC=8,∠A=30，⊙P的半徑為1，當點P運動時，始終確保⊿ABC的三條邊中至少有一條邊上恰好有唯一的⊙P的關聯(lián)點。請你畫出點P所走過的路線圍成的圖形的示意圖，并在下面橫線上直接寫出它的總長。

答：點P經過的路線圍成的圖形的總長為 。

Answer 1

【答案】（1）①O、D、E;②-2≤t≤2;（2） ;（3） .

【解析】

（1）①根據關聯(lián)點的定義得出E點是 O的關聯(lián)點，進而得出F、D，與 O的關系；

②根據題意可知G（0，t）是⊙O的關聯(lián)點，計算出t的取值范圍即可；

（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯(lián)點，欲使這個圓的半徑最小，則這個圓的圓心應在線段EF的中點；再考慮臨界情況，即恰好E、F點為 K的關聯(lián)時，則KF=2KN=EF=2，即可得出圓的半徑r的取值范圍，即可得出結論．

（3）根據題意與周長公式列出等式即可得出結論.

(1)① O、D、E

② -2≦t≦2

根據關聯(lián)點的定義得出E點是 O的關聯(lián)點，根據題意可知G（0，t）是⊙O的關聯(lián)點，所以t的范圍是-2≦t≦2．

（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯(lián)點，欲使這個圓的半徑最小，則這個圓的圓心應在線段EF的中點；再考慮臨界情況，即恰好E、F點為 K的關聯(lián)時，則KF=2KN=EF=2，即可得出圓的半徑r的取值范圍，.

（3）點P經過的路線圍成的圖形的總長為.