Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點(diǎn)E，連接DE并延長(zhǎng)，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．
（1）求證：BD=BF；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面積．

Answer 1

分析：（1）作輔助線，連接OE，根據(jù)切線的性質(zhì)知OE⊥AC，已知∠ACB=90°，可知OE∥BC，得∠OED=∠F，再根據(jù)OD=OE，可知∠ODE=∠OED，從而可得∠ODE=∠F，BD=BF；
（2）根據(jù)△AOE∽△ABC，可將⊙O的半徑求出，代入圓的面積公式S_⊙O=πr²，計(jì)算即可．

解答：（1）證明：如圖，連接OE
∵AC切⊙O于E，
∴OE⊥AC，
又∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠OED=∠F，
又OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODE=∠F，
∴BD=BF；

（2）解：設(shè)⊙O半徑為r，
由OE∥BC得△AOE∽△ABC，
∴

AO

AB

=

OE

BC

，
即

r+4

2r+4

=

r

6

，
∴r²-r-12=0，
解之得r₁=4，r₂=-3（舍），
經(jīng)檢驗(yàn)，r=4是原分式的解．
∴S_⊙O=πr²=16π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線性質(zhì)及相似三角形的判定定理，有一定的綜合性．