Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為1的⊙A的圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，線段BC的端點(diǎn)分別在x軸與y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），且sin∠OCB=$\frac{3}{5}$．
（1）若點(diǎn)Q是線段BC上一點(diǎn)，且點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m．
①求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)；（用含m的代數(shù)式表示）
②若點(diǎn)P是⊙A上一動(dòng)點(diǎn)，求PQ的最小值；
（2）若點(diǎn)A從原點(diǎn)O出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿折線OBC運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)停止，⊙A隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)而移動(dòng)．
①點(diǎn)A從O→B的運(yùn)動(dòng)的過程中，若⊙A與直線BC相切，求t的值；
②在⊙A整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)⊙A與線段BC有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出t滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)正切的概念求出BC=10，OC=8，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，根據(jù)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征解得即可；
②作OQ⊥AB交⊙A于P，則此時(shí)PQ最小，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；
（2）①根據(jù)切線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；
②結(jié)合圖形、運(yùn)用直線與圓的位置關(guān)系定理解答．

解答 解：（1）①∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），tan∠OCB=$\frac{3}{5}$，
∴BC=10，OC=8，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∵點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m，
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為-$\frac{4}{3}$m+8；
②如圖1，作OQ⊥AB交⊙A于P，則此時(shí)PQ最小，
$\frac{1}{2}$×AB×OQ=$\frac{1}{2}$×BO×CO，
解得，OQ=4.8，
∴PQ_最小=OQ_最小-1=3.8；
（2）①如圖2，⊙A與直線BC相切于H，
則AH⊥BC，又∠BOC=90°，
∴△BHA∽△BOC，
∴$\frac{BA}{BC}$=$\frac{AH}{OC}$，即$\frac{BA}{10}$=$\frac{1}{8}$，
解得，BA=$\frac{5}{4}$，
則OA=6-$\frac{5}{4}$=$\frac{19}{4}$，
∴t=$\frac{19}{4}$時(shí)，⊙A與直線BC相切；
 ②由（2）①得，t=$\frac{19}{4}$時(shí)，⊙A與直線BC相切，
當(dāng)t=5時(shí)，⊙A經(jīng)過點(diǎn)B，
當(dāng)t=7時(shí)，⊙A經(jīng)過點(diǎn)B，
當(dāng)t=15時(shí)，⊙A經(jīng)過點(diǎn)C，
故$\frac{19}{4}$＜t≤5或7≤t≤15時(shí)，⊙A與線段BC有兩個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及最短距離的確定，靈活運(yùn)用相關(guān)定理和數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．