Question

已知：關(guān)于x的二次函數(shù)y=﹣x²+（m+2）x﹣m．

（1）求證：不論m為任何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)P總是在x軸的上方；

（2）設(shè)二次函數(shù)圖象與y軸交于A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線與圖象交于另外一點(diǎn)B．若頂點(diǎn)P在第一象限，當(dāng)m為何值時(shí)，△PAB是等邊三角形．

Answer 1

解：（1）證明：二次函數(shù)y=﹣x²+（m+2）x﹣m中，a=﹣1，b=m+2，c=﹣m，

∴頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為==＞0，…………………….. .(2分)

∴頂點(diǎn)P總在x軸上方；

（2）解：二次函數(shù)y=﹣x²+（m+2）x﹣m與y軸交于點(diǎn)A（0，﹣m），

頂點(diǎn)P（，），……………………………….. .(1分)

過(guò)P作PC⊥AB于C，則C（，﹣m），………………….(1分)

因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，所以＞0，

AC=，PC=，………………………….(2分)

∵△PAB是等邊三角形，

∴∠PAC=60°，

由tan∠PAC=得=（），

整理得：（m+2）²=2（m+2），…………………….. .(2分)

∴m+2=2

∴m=2﹣2，…………………………………………. .(2分)

即m=2﹣2時(shí)，△PAB是等邊三角形．