Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC．EF是梯形的中位線，AB∥DH．AD=1．BC=3，CD=4．有下列4個(gè)結(jié)論：①∠BCD=60°，②EH=2，③四邊形EHCF是菱形，④△EHB∽△CEB．其中正確的有（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定,直角梯形,梯形中位線定理

專題：

分析：在直角三角形CDH中，CH=BC-BH，而四邊形ABHD是矩形，故AD=BH，從而可求CH，利用三角函數(shù)可求∠DCH，即∠DCB的值；再利用梯形中位線定理，及F時(shí)CD中點(diǎn)，可證四邊形EHCF是菱形；根據(jù)∠HEF=60°，四邊形EHCF是菱形，求出∠BEH=30°，從而得出△EHB∽△CEB．

解答：解：在Rt△DCH中，CD=4，CH=CB-BH=2，
∴∠DCH=60°，即∠BCD=60°，
在四邊形EHCF中，又CH=EF=2，CH∥EF，CF=

1

2

CD=2，
∴四邊形EHCF是菱形，
∵∠BCD=60°，四邊形EHCF是菱形，
∴∠HEF=60°，
∴∠HEC=30°，
∴∠BEH=30°，
∴△BHE∽△BEC．
故正確答案為①②③④，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、梯形的性質(zhì)、勾股定理、菱形的判定、三角形面積及圓的切線的判定．本題比較復(fù)雜，信息量較大，需要同學(xué)們熟知梯形及三角形中位線定理．