Question

18、設(shè)有編號為1、2、3…100的100盞電燈，各有接線開關(guān)控制著，開始時，它們都是關(guān)閉狀態(tài)，現(xiàn)有100個學生，第1個學生進來時，凡號碼是1的倍數(shù)的開關(guān)拉了一下，接著第二個學生進來，由號碼是2的倍數(shù)的開關(guān)拉一下，第n個（n≤100）學生進來，凡號碼是n的倍數(shù)的開關(guān)拉一下，如此下去，最后一個學生進來，把編號能被100整除的電燈上的開關(guān)拉了一下，這樣做過之后，請問哪些燈還亮著？

Answer 1

分析：在1到100這些燈中，很容易發(fā)現(xiàn)第1個被拉了1下，第二個被拉了2下，第三個被拉了2下…
這些燈的編號數(shù)字有幾個公約數(shù)，它就被拉了幾下
很容易發(fā)現(xiàn)，非平方數(shù)一定有偶數(shù)個公約數(shù)，平方數(shù)一定有奇數(shù)個公約數(shù)
只有被拉了奇數(shù)下的燈才亮著，所以1～100中平方數(shù)有1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，共10個平方數(shù)，所以亮著的燈有10個

解答：解：首先，電燈編號有幾個正約數(shù)，它的開關(guān)就會被拉幾次，由于一開始電燈是關(guān)的，所以只有哪些被拉過奇數(shù)次的燈才是亮的，因為只有平方數(shù)才有奇數(shù)個約數(shù)，所以哪些編號為1、2²、3²、4²、5²、6²、7²、8²、9²、10²共10盞燈是亮的．

點評：1、燈的亮暗與它的亮暗變化的次數(shù)有關(guān)．即如果它的亮暗變化的次數(shù)是奇數(shù)，那么它是亮的．
2、亮暗的變化次數(shù)又與它的編號的約數(shù)的個數(shù)有關(guān)．
只有平方數(shù)的約數(shù)是奇數(shù)個在1～100中平方數(shù)有1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，共10個平方數(shù)，所以亮著的燈有10個