Question

如圖，△ABC中，∠B=45°，O為AC上一個動點，過O作∠POQ=135°，且∠POQ與AB交于P，與BC交于Q
（1）若

AB

BC

=1，

AO

CO

=1，則

OP

OQ

=

 

．（如圖1）
（2）若

AB

BC

=

1

3

，

AO

CO

=

1

2

，求

OP

OQ

的值，寫出求解過程．（如圖2）
（3）若

OP

OQ

=

3

5

，

AB

BC

=

1

2

，則

AO

CO

=

 

．（如圖3）

Answer 1

分析：（1）根據四點共圓的性質以及圓周角定理求出即可；
（2）過O作OM⊥BA的延長線于M，O作ON⊥BC的于N，連BO，先證△OMP∽△ONQ，再根據相似三角形的性質與相關三角形的面積比的關系求出

OP

OQ

的值；
（3）與（2）互逆．

解答：解：（1）∵∠B=45°，∠POQ=135°，
∴P，B，Q，O四點共圓，
∵

AB

BC

=1，

AO

CO

=1，
∴∠PBO=∠OBC，
∴PO=QO，
∴

OP

OQ

=1；

（2）過O作OM⊥BA的延長線于M，O，作ON⊥BC的于N，連BO，
先證△OMP∽△ONQ，
得

OP

OQ

=

OM

ON

，
又

SAOB

SCOB

=

AO

CO

=

1

2

，
即可得

OP

OQ

=

3

2

；

（3）過O作OM⊥BA的延長線于M，O作ON⊥BC的于N，連BO，
先證△OMP∽△ONQ，
得

OP

OQ

=

OM

ON

，
∴

SAOB

SCOB

=

3

10

，
∴

AO

CO

=

3

10

．

點評：本題結合三角形的面積計算考查了相似三角形的判定和性質，其中（2）與（3）之間互為逆運算．