Question

（本題12分）如圖，過點A（0，3）的直線l1與x軸交于點B，tan∠ABO=．過點A的另一直線l2：y＝－x＋b (t＞0)與x軸交于點Q，點P是射線AB上的一個動點，過P作PH⊥x軸于點H，設(shè)PB＝5t．

（1）求直線l1 的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)點P在線段AB上運動時，設(shè)△PHQ的面積為S（S≠0），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）當(dāng)點P 在射線AB上運動時，是否存在這樣的t值，使以P，H，Q為頂點的三角形與△AOQ相似？若存在，直接寫出所有滿足條件的t值所對應(yīng)的P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）函數(shù)解析式為y=x＋3；（2）①當(dāng)H在Q、B之間時S=（4－8t）×3t=②當(dāng)H在O、Q之間時，S=(8t－4) 3t=；（3）t1＝，P1；t2＝－1，P2； t3＝，P3 ；t4＝1，P4（0，3）；t5＝1， P5（8，－3）

【解析】

試題分析：（1）∵A（0，3），且tan∠ABO= ∴B（4，0）

設(shè)y=kx+b ，將A（0，3） B（4，0）代入上式得b=3 0=4k＋b

解得k=，b=3

∴ 函數(shù)解析式為y=x＋3

（2）由B（4，0）．∴OB＝4，

∵OA＝3， ∴AB＝5．

由題意，得△BHP∽△BOA，

∵OA∶OB∶AB＝3∶4∶5，

∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，

∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．

∴OH＝OB－HB＝4－4t．

由y＝－x＋3與x軸交于點Q， 得Q（4t，0）

①當(dāng)H在Q、B之間時（如圖1）

QH＝OH－OQ＝（4－4t）－4t＝4－8t．

S=（4－8t）×3t=

②當(dāng)H在O、Q之間時（如圖2）

QH＝OQ－OH＝4t－（4－4t）＝8t－4．

S=(8t－4) 3t=

（3）存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與△AOQ相似

①當(dāng)H在Q、B之間

t1＝，P1 或者t2＝－1，P2

②當(dāng)H在O、Q之間

t3＝．得P3 或者t4＝1，P4（0，3）

③當(dāng)H在B的右側(cè)

t5＝1， P5（8，－3）

 

考點:一次函數(shù)的綜合運用