Question

10．有一個四邊形ABCD，BC=CD，∠BCD=60°，∠BAD=120°．
（1）小明認為AB+AD=AC（如圖甲），為了證明它，需要作輔助線，請問需要怎樣作輔助線？小明認為作完輔助線后，還要證明一對三角形全等，請指出這一對三角形；
（2）若AB=AD（如圖乙），F(xiàn)是DC延長線上一點，作∠FAE=60°，AE與CB的延長線交點為E，連EF，線段EF、EB和DF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先判斷出△ADG和BCD是等邊三角形，得出∠BDG=∠CDA，即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出△ABC≌△ADC，結(jié)合四邊形的內(nèi)角和得出∠ABC=∠ADC=90°，再判斷出△ADE'≌△ABE得出AE'=AE，最后判斷出△EAF≌△E'AF即可．

解答 解：（1）△BDG≌△CDA；
如圖甲，

連接BD，延長BA至G，使AG=AD，
∵∠BAD=120°，
∴∠DAG=60°，
∵AG=AD，
∴△ADG是等邊三角形，
∴∠ADG=60°，DG=AD，
∵∠BCD=60°，BC=CD，
∴△BCD是等邊三角形，
∴∠BDC=60°，BD=CD，
∴∠BDG=∠CDA，
在△BDG和△CDA中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDG=∠CDA}\\{DG=AD}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△CDA，
∴AC=BG=AG+AB=AD+AB，
（2）DF=EB+EF，
理由：如圖乙，

在四邊形ABCD中，∠BAD=120°∠BCD=60°，
根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得，∠ABC+∠ADC=180°
在△ABC和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BC=CD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=∠DAC=60°，
∵∠EAF=60°，
∴∠EAB=∠CAF
在△ACD內(nèi)部作∠DAE'=∠BAE，
∴∠CAF=∠DAE'，
∴∠FAE'=∠FAC+∠CAE'=∠DAE'+∠CAE'=60°=∠EAF，
在△ADE'和△ABE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE'=∠ABE=90°}\\{AD=AB}\\{∠DAE'=∠BAE}\end{array}\right.$，
∴△ADE'≌△ABE，
∴AE'=AE，
在△EAF和△E'AF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE'}\\{∠EAF=∠E'AF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△E'AF，
∴EF=E'F，
∴DF=DE'+E'F=EB+EF．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了四邊形的內(nèi)角和，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線△ACD內(nèi)部作∠DAE'=∠BAE，也是解本題的難點．