Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，CD∥AB，CB⊥AB，BC=6cm，DC=6cm，AD=10cm
（1）求AB的長．
（2）操作：如圖2，過點D作DE⊥AB于E．將直角梯形ABCD沿DE剪開，得到四邊形DEBC和△ADE．四邊形DEBC不動，將△ADE沿射線AD的方向，以每秒1cm的速度平移，當點A平移到點D時，停止平移．
探究：設在平移過程中，△ADE與四邊形DEBC重疊部分的面積為ycm²，平移時間為x秒，求y與x的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍？

Answer 1

分析：（1）通過作輔助線，過點D作DE⊥AB于E，很容易就可求出AB的長度；
（2）根據平移的性質，DD′=AA′=x，然后結合圖形和題意，即可推出△D′DF∽△D′A′E′，根據對應邊的比例相等的性質，即可推出y關于x的解析式．

解答：解：（1）如圖，過點D作DE⊥AB于E，
∵CB⊥AB，CD∥AB，
∴∠C=∠B=∠DEB=90°，
∴四邊形DEBC為矩形，
∴DE=CD=6，DE=BC=6，
∴在Rt△ADE中，AE=8，
∴AB=8+6=14；

（2）如圖，當0≤x≤10時，
由平移得，DD′=AA′=x．
∵DF∥A′E′，
∴∠D′DF=∠DA′M，∠D′FD=∠E′
∴△D′DF∽△D′A′E′，
∴

D′D

D′A′

=

D′F

D′E′

=

DF

A′E′

∴DF=8×

x

10

=

4x

5

D′F=6×

x

10

=

3x

5

∴E′F=6-

3x

5

，
∴y=（6-

3x

5

）•

4x

5

，
∴y=-

12

25

x2+

24

5

x（0≤x≤7.5）；
當△ADE平移到DE與BC在同一條直線之后，y=-3.6x+36（7.5≤x≤10）．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質、勾股定理、平移的性質、直角梯形的性質，解題的關鍵在于求出三角形相似、作輔助線構造直角三角形．