Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），B（，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線在第四象限內(nèi)的一點(diǎn).

（1）求拋物線解析式；

（2）點(diǎn)D是線段OC的中點(diǎn)，OP⊥AD，點(diǎn)E是射線OP上一點(diǎn)，OE=AD，求DE的長；

（3）連接CP，AP，是否存在點(diǎn)P，使得OP平分四邊形ABCP的面積？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1），（2），（3）（，）

【解析】

（1）拋物線的表達(dá)式為：，故，解得：，即可求解；

（2）過E點(diǎn)作交OC于點(diǎn)，利用易證，則可根據(jù)AAS證明得到，可得與點(diǎn)重合，則有，得到是等腰直角三角形，可求得；

（3）根據(jù)OP平分四邊形ABCP的面積，有，設(shè)P的橫坐標(biāo)為x，則縱坐標(biāo)為：，得到，化簡即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（1）拋物線的表達(dá)式為：，
則有：，解得：，
故拋物線的表達(dá)式為：；

（2）過E點(diǎn)作交OC于點(diǎn)，

又（1）可知，拋物線的表達(dá)式為，

∴C的坐標(biāo)為：（0，-3），

∴,

∵,

∴

∵

∴

在和中

∴

∴，,

∴,

即與點(diǎn)重合，

∴

又∵點(diǎn)D是線段OC的中點(diǎn)，

∴,

∴是等腰直角三角形，

∴；

（3）答：存在點(diǎn)P，使得OP平分四邊形ABCP的面積．

證明：設(shè)P的橫坐標(biāo)為x，則縱坐標(biāo)為：，

根據(jù)OP平分四邊形ABCP的面積，

有：，

即：

∴

解之得：，（不合題意，舍去），

∴縱坐標(biāo)為：，

∴P的坐標(biāo)為：（2，-3）．