Question

2．如圖1，拋物線y=ax²+b的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），且經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若將拋物線y=ax²+b中在x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方，x軸上方的圖象保持不變，就得到了函數(shù)y=|ax²+b|圖象上的任意一點(diǎn)P，直線l是經(jīng)過（0，1）且平行與x軸的直線，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為D，猜想并探究：PO與PD的差是否為定值？如果是，請(qǐng)求出此定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．
（注：在解題過程中，如果你覺得有困難，可以閱讀下面的材料）
附閱讀材料：
1．在平面直角坐標(biāo)系中，若A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A，B兩點(diǎn)間的距離為|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$，這個(gè)公式叫兩點(diǎn)間距離公式．
例如：已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，2），（2，-2），則A，B兩點(diǎn)間的距離為|AB|=$\sqrt{（-1-2）^{2}+（2+2）^{2}}$=5．
2．因式分解：x⁴+2x²y²+y⁴=（x²+y²）²．

Answer 1

分析 （1）待定系數(shù)法求解可得；
（2）先根據(jù)題意表示出翻折后拋物線解析式，再求出y=1時(shí)x的值，繼而可分-2≤x≤2、-2$\sqrt{2}$≤x＜-2或2$＜x≤2\sqrt{2}$、x＜-2$\sqrt{2}$或x＞2$\sqrt{2}$三種情況，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式列式表示出PO與PD的差即可得出答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為y=ax²-1，
將點(diǎn)A（-2，0）代入，得：4a-1=0，
解得：a=$\frac{1}{4}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-1；

（2）如圖，

根據(jù)題意，當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，y=-$\frac{1}{4}$x²+1；
當(dāng)x＜-2或x＞2時(shí)，y=$\frac{1}{4}$x²-1；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-1}\end{array}\right.$可得點(diǎn)M（-2$\sqrt{2}$，1）、點(diǎn)N（2$\sqrt{2}$，1），
①當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，-$\frac{1}{4}$a²+1），
則PO-PD=$\sqrt{{a}^{2}+（-\frac{1}{4}{a}^{2}+1）^{2}}$-[1-（-$\frac{1}{4}$a²+1）]
=$\frac{1}{4}$a²+1-$\frac{1}{4}$a²
=1；
②當(dāng)-2$\sqrt{2}$≤x＜-2或2$＜x≤2\sqrt{2}$時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，$\frac{1}{4}$a²-1），
則PO-PD=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{4}{a}^{2}-1）^{2}}$-[1-（$\frac{1}{4}$a²-1）]
=$\frac{1}{4}$a²+1-2+$\frac{1}{4}$a²
=$\frac{1}{2}$a²-1；
③當(dāng)x＜-2$\sqrt{2}$或x＞2$\sqrt{2}$時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，$\frac{1}{4}$a²-1），
則PO-PD=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{4}{a}^{2}-1）^{2}}$-[（$\frac{1}{4}$a²-1）-1]
=$\frac{1}{4}$a²+1-$\frac{1}{4}$a²+2
=3；
綜上，當(dāng)x＜-2$\sqrt{2}$、-2≤x≤2或x＞2$\sqrt{2}$時(shí)，PO與PD的差為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、坐標(biāo)與圖形的變化及兩點(diǎn)間距離公式，分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．