Question

已知拋物線y=x² + 1(如圖所示)．

    (1)填空：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(______，______)，對稱軸是_____；

    (2)已知y軸上一點(diǎn)A(0，2)，點(diǎn)P在拋物線上，過點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為B．若△PAB是等邊三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

 (3)在(2)的條件下，點(diǎn)M在直線AP上．在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使四邊形OAMN為菱形?若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

    解：(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，1)，對稱軸是y軸(或x=O)．

         ……………………………………………4分

       (2) ∵△PAB是等邊三角形，   

           ∴∠ABO=90^o-60^o=30^o．

           ∴AB=20A=4．∴PB=4．………………5分

解法一：把y=4代人y=x² + 1，

得  x=±2.   

       ∴P₁(2，4)，P₂(-2，4)． 

       解法二：∴OB==2    

       ∴P₁(2，4)．    …………………………………………………………………7分

       根據(jù)拋物線的對稱性，得P₂(-2，4)．  ………………………………………8分

       (3)存在.N₁(，1)，N₂(-，-1)，N₃(-，1)，N₄(，-1). …………12分