Question

如圖①，OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在軸的正半軸上，點C在軸的正半軸上，OA=5，OC=4.

（1）在OC邊上取一點D，將紙片沿AD翻折，使點O落在BC邊上的點E處，求D、E兩點的坐標；

（2）如圖②，若AE上有一動點P（不與A、E重合）自A點沿AE方向向E點勻速運動，運動的速度為每秒1個單位長度，設(shè)運動的時間為秒，過P點作ED的平行線交AD于點M，過點M作AE的平行線交DE于點N.求四邊形PMNE的面積S與時間之間的函數(shù)關(guān)系式；當取何值時，S有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的條件下，當為何值時，以A、M、E為頂點的三角形為等腰三角形，并求出相應(yīng)時刻點M的坐標.

 

                                

Answer 1

解：（1）依題意可知，折痕AD是四邊形OAED的對稱軸，

∴在中，

∴     ∴

∴點坐標為………………………………………………………（1分）

在中，   又∵

∴      解得：

∴點坐標為………………………………………………………（2分）

     （2）如圖①∵∥  ∴

∴  又知 

∴   又∵

而顯然四邊形為矩形

             ∴…………………（3分）∴  又∵

∴當時，有最大值（面積單位）

（3）（i）若（如圖①）

在中，，∴為的中點

又∵∥ ， ∴為的中點

∴  ∴   ∴

又∵與是關(guān)于對稱的兩點

∴ ，

∴當時（），為等腰三角形

此時點坐標為

（ii）若（如圖②）

 在中，

 ∵∥ ，∴，∴

 ∴  ∴

同理可知： ，

∴當時（），此時點坐標為

綜合（i）、（ii）可知：或時，以A、M、E為頂點的三角形為等腰三角形，相應(yīng)M點的坐標為或