Question

如圖，拋物線(xiàn)y=mx²+2mx-3m（m≠0）的頂點(diǎn)為H，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)），點(diǎn)H、B關(guān)于直線(xiàn)l：對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)BK∥AH交直線(xiàn)l于K點(diǎn)．
（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，并證明點(diǎn)A在直線(xiàn)l上；
（2）求此拋物線(xiàn)的解析式；
（3）將此拋物線(xiàn)向上平移，當(dāng)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)K點(diǎn)時(shí)，設(shè)頂點(diǎn)為N，直接寫(xiě)出NK的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程，即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線(xiàn)l的解析式，計(jì)算即可證明點(diǎn)A在直線(xiàn)上；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得AH=AB，根據(jù)直線(xiàn)l的解析式求出直線(xiàn)l與x軸的夾角為30°，然后得到∠HAB的度數(shù)是60°，過(guò)點(diǎn)H作HC⊥x軸于點(diǎn)C，然后解直角三角形求出AC、HC，從而得到OC的長(zhǎng)度，然后寫(xiě)出點(diǎn)H的坐標(biāo)，再把點(diǎn)H的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式計(jì)算求出m的值，即可得解；
（3）根據(jù)平行直線(xiàn)的解析式的k值相等求出直線(xiàn)BK的解析式的k值，然后利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BK的解析式，與直線(xiàn)l的解析式聯(lián)立求解得到點(diǎn)K的值，再利用拋物線(xiàn)解析式求出相應(yīng)橫坐標(biāo)上的點(diǎn)，從而求出拋物線(xiàn)向上移動(dòng)的距離，然后得到平移后的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可得到NK的值．
解答：解：（1）令y=0，則mx²+2mx-3m=0（m≠0），
解得x₁=-3，x₂=1，
∵B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），

證明：∵直線(xiàn)l：y=x+，
當(dāng)x=-3時(shí)，y=×（-3）+=-+=0，
∴點(diǎn)A在直線(xiàn)l上；

（2）∵點(diǎn)H、B關(guān)于過(guò)A點(diǎn)的直線(xiàn)l：y=x+對(duì)稱(chēng)，
∴AH=AB=4，
設(shè)直線(xiàn)l與x軸的夾角為α，則tanα=，
所以，∠α=30°，
∴∠HAB=60°，
過(guò)頂點(diǎn)H作HC⊥AB交AB于C點(diǎn)，
則AC=AB=2，HC==2，
∴頂點(diǎn)H（-1，2），
代入拋物線(xiàn)解析式，得m×（-1）²+2m×（-1）-3m=2，
解得m=-，
所以，拋物線(xiàn)解析式為y=-x²-x+；

（3）∵過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)BK∥AH交直線(xiàn)l于K點(diǎn)，
∴直線(xiàn)BK的k=tan60°=，
設(shè)直線(xiàn)BK的解析式為y=x+b，
∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∴+b=0，
解得b=-，
∴直線(xiàn)BK的解析式為y=x-，
聯(lián)立，
解得，
∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為（3，2），
當(dāng)x=3時(shí)，y=-×3²-×3+=-6，
∴平移后與點(diǎn)K重合的點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，-6），
平移距離為2-（-6）=8，
∵平移前頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2），
2+8=10，
∴平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)N（-1，10），
∴NK===4，
所以，NK的長(zhǎng)是4．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要涉及求與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，解直角三角形，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，聯(lián)立兩直線(xiàn)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式，綜合性較強(qiáng)，難度較大．