Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為原點．點A在x軸的正半軸上，點B在y軸的正半軸上，tan∠OAB=2．二次函數(shù)y=x²+mx+2的圖象經(jīng)過點A，B，頂點為D

（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）將△OAB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，點B落到點C的位置．將上述二次函數(shù)圖象沿y軸向上或向下平移后經(jīng)過點C．請直接寫出點C的坐標(biāo)和平移后所得圖象的函數(shù)解析式；
（3）設(shè)（2）中平移后所得二次函數(shù)圖象與y軸的交點為B₁，頂點為D₁．點P在平移后的二次函數(shù)圖象上，且滿足△PBB₁的面積是△PDD1面積的2倍，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）由題意，點B的坐標(biāo)為（0，2）， ∴OB=2， ∵tan∠OAB=2，即=2． ∴OA=1． ∴點A的坐標(biāo)為（1，0）． 又∵二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖象過點A， ∴0=12+m+2． 解得m=﹣3， ∴所求二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣3x+2． （2）作CE⊥x軸于E， 由于∠BAC=90°，可知∠CAE=∠OBA， △CAE∽△OBA，可得CE=OA=1，AE=OB=2， 可得點C的坐標(biāo)為（3，1）． 由于沿y軸運動，故圖象開口大小、對稱軸均不變， 設(shè)出解析式為y=x2﹣3x+c，代入C點作標(biāo)得1=9﹣9+c，c=1， 所求二次函數(shù)解析式為y=x2﹣3x+1． （3）由（2），經(jīng)過平移后所得圖象是原二次函數(shù)圖象向下平移1個單位后所得的圖象，那么對稱軸直線x=不變，且BB1=DD1=1． ∵點P在平移后所得二次函數(shù)圖象上， 設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，x2﹣3x+1）． 在△PBB1和△PDD1中， ∵S△PBB1=2S△PDD1，∴邊BB1上的高是邊DD1上的高的2倍． ①當(dāng)點P在對稱軸的右側(cè)時，x=2（x﹣），得x=3， ∴點P的坐標(biāo)為（3，1）； ②當(dāng)點P在對稱軸的左側(cè)，同時在y軸的右側(cè)時，x=2（﹣x），得x=1， ∴點P的坐標(biāo)為（1，﹣1）； ③當(dāng)點P在y軸的左側(cè)時，x＜0，又﹣x=2（﹣x）， 得x=3＞0（舍去）， ∴所求點P的坐標(biāo)為（3，1）或（1，﹣1）．