Question

【題目】如圖1，已知正方形ABCD，E是線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，N是線(xiàn)段BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，以AE為邊在直線(xiàn)BC的上方作正方形AEFG．

（1）連接GD，求證；

（2）連接FC，求的值；

（3）如圖2，將圖1中正方形ABCD改為矩形ABCD，，，E是線(xiàn)段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)B，C），以AE為邊在直線(xiàn)BC的上方作矩形AEFG，使頂點(diǎn)G恰好落在射線(xiàn)CD上．當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷的值是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）是定值，．

【解析】

（1）證明，問(wèn)題得證；

（2）過(guò)F作，垂足為M，證明，得到，求出；

（3）過(guò)F作，垂足為M，證明，，設(shè)，得到，求得，問(wèn)題得解．

（1）∵正方形ABCD和正方形AEFG中

∴，，．

∴

∴

∴

（2）過(guò)F作，垂足為M，則有，

∴

即

又

∴

∴，

又，

∴

在中，∴

（3）過(guò)F作，垂足為M，則有，

∴

即

同理可證：

又

∴，

∴，

設(shè)，則，

∴，

，即

∴

即的值為定值