Question

實(shí)數(shù)a，b，c滿足（a+c）（a+b+c）＜0，求證：（b-c）²＞4a（a+b+c）．

Answer 1

【答案】分析：此題由求證問題想到根的判別式，從而設(shè)出二次函數(shù)解析式，進(jìn)一步取特殊點(diǎn)求值，結(jié)合圖象與根的情況解答即可．
解答：解：設(shè)輔助二次函數(shù)y=ax²+（b-c）x+（a+b+c），
當(dāng)x₁=0時(shí)，y₁=a+b+c，
當(dāng)x₂=-1時(shí)，y₂=a-（b-c）+（a+b+c）=2（a+c），
所以y₁y₂=2（a+c）（a+b+c）＜0，
由此說明二次函數(shù)圖象上兩點(diǎn)（x₁，y₁）、（x₂，y₂）在x軸兩側(cè)，
即此函數(shù)圖象與x軸相交，
所以二次函數(shù)的判別式大于零，
即△=（b-c）²-4a（a+b+c）＞0．
所以（b-c）²＞4a（a+b+c）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況同判別式之間的聯(lián)系．