Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AB=4，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線，C是切線上一點(diǎn)，且BC=2，P是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PC交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作PC的垂線，交切線BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連結(jié)DF交AB于點(diǎn)G．
（1）當(dāng)P是OA的中點(diǎn)時(shí)，求PE的長(zhǎng)；
（2）若∠PDF=∠E，求△PDF的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）證△CBP∽△PBE，得出比例式，求出BE，根據(jù)勾股定理求出PE即可；
（2）分為兩種情況：（i）弦DF不是直徑，求出PD=PF，∠GPD=∠GDP=45°，求出BP=BC=2=BO，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，根據(jù)三角形面積公式求出即可；（ii）弦DF恰為直徑，則點(diǎn)P即為點(diǎn)A．求出S_△PCE=

1

2

×10×4=20，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出△PDF的面積即可．

解答：解：（1）當(dāng)P是OA的中點(diǎn)時(shí)，PB=3，
∵CE是⊙O的切線，
∴AB⊥CE，
又∵CP⊥PE，∠CPB=∠E，
∴△CBP∽△PBE，
∴

CB

BP

=

PB

BE

，
∴BE=

BP2

BC

=

9

2

，
∴在Rt△PBE中，PE=

PB2+BE2

=

32+( 9 2 )2

=

3 13

2

；

（2）在Rt△PDG中，由∠PDF=∠E=∠CPB，可知∠GPF=∠GFP
于是GD=GP=GF，
直徑AB平分弦DF，有兩種可能：
（�。┫褼F不是直徑，如圖1，則AB⊥DF，于是PD=PF，∠GPD=∠GDP=45°
∴BP=BC=2=BO，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合．S_△PDF=

1

2

×2×2=2；
（ⅱ）弦DF恰為直徑，如圖2，

則點(diǎn)P即為點(diǎn)A．而B(niǎo)C=2，BP=4，
∴BE=8，
S_△PCE=

1

2

×10×4=20，
∴S_△PDF=（

4

10

）²×20=

16

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目比較好，有一定的難度．