Question

5．如圖，AD是△ABC的中線，線段AC與DE互相平分．
（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；
（2）若BC=5，AC=4，AB=a，要使四邊形ADCE是菱形，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形ADCE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質求出AE∥DC，AE=DC，求出BD=AE，BD∥AE，根據(jù)平行四邊形的判定得出即可；
（2）根據(jù)菱形的性質得出BD=DC=AD，求出∠BAC=90°，根據(jù)勾股定理求出即可．

解答 （1）證明：∵線段AC與DE互相平分，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∴AE∥DC，AE=DC，
∵AD是△ABC的中線，
∴BD=DC，
即BD=AE，BD∥AE，
∴四邊形ABDE是平行四邊形；

（2）解：∵四邊形ADCE是菱形，
∴AD=DC=BD，
∴∠BAC=90°，
由勾股定理得：AB=a=$\sqrt{B{C}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
即a=3．

點評 本題考查了菱形的性質，勾股定理，平行四邊形的性質和判定的應用，能熟練地運用定理進行推理是解此題的關鍵．