Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，CE⊥AB于E，設(shè)∠ABC=α（0°＜α＜90°）

（1）當(dāng)α=60°時(shí)，求CE的長(zhǎng)；
（2）①在圖1中，60°＜α＜90°，取BC中點(diǎn)G，連接FG，CF，∠EFD=k∠DCF（k為正整數(shù)），試猜想k的值，并證明你的猜想；
②在圖2中，0°＜α＜60°，作CE⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于E，取BC中點(diǎn)G，連接FG，CF，直接寫出∠EFD與∠DCF的等量關(guān)系．
（3）在圖1中，當(dāng)60°＜α＜90°時(shí)，當(dāng)BE為多少時(shí)，CE²-CF²取最大，最大值為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）求出BE，根據(jù)勾股定理求出CE即可；
（2）①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定和等腰三角形的性質(zhì)推出∠DCF=∠DFC=∠CFG=∠EFG，即可得出答案；②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定和等腰三角形的性質(zhì)推出∠DCF=∠DFC=∠CFG=∠EFG，即可得出答案；
（3）求出BN=

1

2

BE，根據(jù)勾股定理求出FM、AN、求出CM、根據(jù)勾股定理求出CE、CF，代入得出二次函數(shù)的解析式，求出最值即可．

解答：解：（1）∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∵∠B=60°，BC=10，
∴BE=

1

2

BC=5，
由勾股定理得：CE=

102-52

=5

3

；

（2）①k=3，
證明：如圖，∵AB=5，BC=10，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC=10，DC=AB=5，AD∥BC，
∵F、G分別為AD、BC的中點(diǎn)，
∴DF=DC=CG=AF=BG=5，DF∥CG，
∴四邊形ABGF和四邊形CDFG是平行四邊形，
∴FG∥AB∥CD，F(xiàn)G=CD=AB，
∵CE⊥AB，
∴FG⊥CE，
∵G為AB中點(diǎn)，
∴EQ=CQ，
∴EF=FC，
∴∠EFQ=∠CFG，
∵DF=DC=5，
∴∠DFC=∠DCF，
∵FG∥CD，
∴∠CFG=∠DCF，
即∠EFD=3∠DCF，
∴k=3；
②
由①知：∠CFG=∠EFG=∠DCF=∠DFC，
∵∠EFD+∠EFG+∠CFG+∠DFC=360°，
∴∠EFD+3∠DCF=360°；

（3）如圖3，過A作AN⊥BC于N，過F作FM⊥BC于M，
∵AD∥BC，
∴AN=FM，AF=MN=5，
∵AN⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ANB=∠CEB=90°
∵∠B=∠B，
∴△ANB∽△CEB，
∴

AB

BC

=

BN

BE

=

5

10

，
∴BN=

1

2

BE=

1

2

x，
在Rt△ANB中，由勾股定理得：AN²=FM²=5²-（

1

2

x）²，
CM=BC-AF-BN=10-5-

1

2

x=5-

1

2

x，
∴CE²-CF²=（10²-x²）-[5²-（

1

2

x）²+（5-

1

2

x）²]=-x²+5x+50，
當(dāng)x=-

5

2×(-1)

=

5

2

時(shí)，CE²-CF²取最大值，是

225

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線，相似三角形的性質(zhì)和判定，二次函數(shù)的最值，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，難度偏大．