Question

如圖，MN為⊙O的直徑，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN=30°，B為AN弧的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題,勾股定理,垂徑定理

專題：

分析：首先利用在直線L上的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以通過軸對(duì)稱來確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線L的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)P的位置，然后根據(jù)弧的度數(shù)發(fā)現(xiàn)一個(gè)等腰直角三角形計(jì)算．

解答：解：作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)C，連接AC交MN于點(diǎn)P，則P點(diǎn)就是所求作的點(diǎn)．
此時(shí)PA+PB最小，且等于AC的長(zhǎng)．
連接OA，OC，根據(jù)題意得：
∵∠AMN=30°，
∴弧AN的度數(shù)是60°，
∵B為AN弧的中點(diǎn)，
∴弧BN的度數(shù)是30°，
∵NO⊥BC，
∴弧BN=弧CN，
∴弧CN的度數(shù)是30°，
∴弧AC=弧AN+弧CN=90°，
∴∠AOC=90°，
又∵OA=OC=2，
∴AC=

22+22

=2

2

．
即PA+PB的最小值為：2

2

，
故答案為：2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用軸對(duì)稱求最短路線問題，解答此題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，把題目的問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短解答．