Question

16．如圖，已知△ABC，AB=AC，∠A=90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E、F．給出以下四個結論：
①AE=CF；
②EF=AP；
③△EPF是等腰直角三角形；
④S_{四邊形AEPF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC
上述結論始終正確的有（　�。�

• A． ①②③
• B． ①③
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 連接AP，判斷出△APE≌△CPF，可得①③結論正確，同理證明△APF≌△BPE，即可得到④正確；

解答 解：連接AP，EF，
∵AB=AC，∠A=90°，
∴AP⊥BC，
∴∠APC=90°，
∴∠APF+∠CPF=90°，
∵∠EPF=∠APE+∠APF=90°，
∴∠APE=∠CPF，
在等腰直角三角形ABC中，AP⊥BC，
∴∠BAP=∠CAP=∠C=45°，AP=CP，
在△APE和△CPF中$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠C=45°}\\{AP=CP}\\{∠APE=∠CPF}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△CPF，
∴S_△APE=S_△CPF，AE=CF，PE=PF，
∵∠EPF=90°，
∴△EPF是等腰直角三角形；
即：①③正確；
同理：△APF≌△BPE，
∴S_△APF=S_△BPE，
∴S_{四邊形AEPF}=S_△APE+S_△APF=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
即：④正確；
∵△△EPF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$PE，
當PE⊥AB時，AP=$\sqrt{2}$EF，而PE不一定垂直于AB，
∴AP不一定等于EF，
∴②錯誤；
故選C．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了直角三角形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，解本題的關鍵是△APE≌△CPF．