Question

如圖，已知l₁⊥l₂，⊙O與l₁，l₂都相切，⊙O的半徑為2cm，矩形ABCD的邊AD、AB分別與l₁，l₂重合，AB=4

3

cm，AD=4cm，若⊙O與矩形ABCD沿l₁同時向右移動，⊙O的移動速度為3cm/s，矩形ABCD的移動速度為4cm/s，設(shè)移動時間為t（s）
（1）如圖①，連接OA、AC，則∠OAC的度數(shù)為

 

°；
（2）如圖②，兩個圖形移動一段時間后，⊙O到達(dá)⊙O₁的位置，矩形ABCD到達(dá)A₁B₁C₁D₁的位置，此時點O₁，A₁，C₁恰好在同一直線上，求圓心O移動的距離（即OO₁的長）；
（3）在移動過程中，圓心O到矩形對角線AC所在直線的距離在不斷變化，設(shè)該距離為d（cm），當(dāng)d＜2時，求t的取值范圍（解答時可以利用備用圖畫出相關(guān)示意圖）．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）利用切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系分別求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，進(jìn)而得出答案；
（2）首先得出，∠C₁A₁D₁=60°，再利用A₁E=AA₁-OO₁-2=t-2，求出t的值，進(jìn)而得出OO₁=3t得出答案即可；
（3）①當(dāng)直線AC與⊙O第一次相切時，設(shè)移動時間為t₁，②當(dāng)直線AC與⊙O第二次相切時，設(shè)移動時間為t₂，分別求出即可．

解答：解：（1）∵l₁⊥l₂，⊙O與l₁，l₂都相切，
∴∠OAD=45°，
∵AB=4

3

cm，AD=4cm，
∴CD=4

3

cm，
∴tan∠DAC=

CD

AD

=

4 3

4

=

3

，
∴∠DAC=60°，
∴∠OAC的度數(shù)為：∠OAD+∠DAC=105°，
故答案為：105；

（2）如圖位置二，當(dāng)O₁，A₁，C₁恰好在同一直線上時，設(shè)⊙O₁與l₁的切點為E，
連接O₁E，可得O₁E=2，O₁E⊥l₁，
在Rt△A₁D₁C₁中，∵A₁D₁=4，C₁D₁=4

3

，
∴tan∠C₁A₁D₁=

3

，∴∠C₁A₁D₁=60°，
在Rt△A₁O₁E中，∠O₁A₁E=∠C₁A₁D₁=60°，
∴A₁E=

2

tan60°

=

2 3

3

，
∵A₁E=AA₁-OO₁-2=t-2，
∴t-2=

2 3

3

，
∴t=

2 3

3

+2，
∴OO₁=3t=2

3

+6；

（3）①當(dāng)直線AC與⊙O第一次相切時，設(shè)移動時間為t₁，
如圖位置一，此時⊙O移動到⊙O₂的位置，矩形ABCD移動到A₂B₂C₂D₂的位置，
設(shè)⊙O₂與直線l₁，A₂C₂分別相切于點F，G，連接O₂F，O₂G，O₂A₂，
∴O₂F⊥l₁，O₂G⊥A₂C₂，
由（2）得，∠C₂A₂D₂=60°，∴∠GA₂F=120°，
∴∠O₂A₂F=60°，
在Rt△A₂O₂F中，O₂F=2，∴A₂F=

2 3

3

，
∵OO₂=3t₁，AF=AA₂+A₂F=4t₁+

2 3

3

，
∴4t₁+

2 3

3

-3t₁=2，
∴t₁=2-

2 3

3

，
②當(dāng)直線AC與⊙O第二次相切時，設(shè)移動時間為t₂，
記第一次相切時為位置一，點O₁，A₁，C₁共線時位置二，第二次相切時為位置三，
由題意知，從位置一到位置二所用時間與位置二到位置三所用時間相等，
∴

2 3

3

+2-（2-

2 3

3

）=t₂-（

2 3

3

+2），
解得：t₂=2+2

3

，
綜上所述，當(dāng)d＜2時，t的取值范圍是：2-

2 3

3

＜t＜2+2

3

．

點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合t的值是解題關(guān)鍵．