Question

在平面直角坐標(biāo)系中點A（8，6），點B（8，0），點P（5，0），若過點P的直線m交線段OA于點M，若以點O、P、M為頂點的三角形與△AOB相似，則點M的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：由A，B兩點的坐標(biāo)可知AB⊥OB，所以△ABO是直角三角形，若以點O、P、M為頂點的三角形與△AOB相似，則△OPM是直角三角形，并且OP可以為直角邊也可以為斜邊，分別討論求出不同情況下M的坐標(biāo)即可．

解答：解：∵點A（8，6），點B（8，0），點P（5，0），
∴AB=6，OB=8，OP=5，
∴OA=

AB2+0B2

=10，
①當(dāng)△OPM′∽△OBA時，
∴

OP

OB

=

PM′

AB

，
∴PM′=

15

4

，
∵OP=5，
∴點M的坐標(biāo)為（5，

15

4

）；
②當(dāng)△OPM∽△OAB時，過M作MN⊥OB交OB于N，
∴

OP

OA

=

OM

OB

，
∴OM=4，
∴

4

10

=

MN

6

，
∴MN=

12

5

，
∴ON=

16

5

，
∴點M的坐標(biāo)為（

16

5

，

12

5

），
故答案為：(5，

15

4

)或(

16

5

，

12

5

)．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)特征等知識．此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．