Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，對稱軸與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)一動點(diǎn)，且滿足是線段的中點(diǎn)，連結(jié)．則線段的最大值是________________．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先通過解方程得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后進(jìn)一步根據(jù)拋物線性質(zhì)得出點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，結(jié)合題意，利用勾股定理求出AQ，然后根據(jù)題意得出點(diǎn)P在以DE為直徑的圓上，圓心Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0)，圓Q的半徑為2，然后延長AQ較圓Q于點(diǎn)F，得出此時AF最大，再連接AP，利用三角形中位線性質(zhì)進(jìn)一步求解即可.

解方程可得，，

則：點(diǎn)A坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(5，0)，

∵拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)C，

∴點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，

設(shè)DE的中點(diǎn)為Q,則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0)，

∴根據(jù)勾股定理可得：AQ=，

∵∠DPE=90°，

∴點(diǎn)P在以DE為直徑的圓上，圓心Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0)，圓Q的半徑為2，

如圖，延長AQ較圓Q于點(diǎn)F，此時AF最大，最大值為，

再連接AP，

∵點(diǎn)M是線段PB中點(diǎn)，

∴CM為△ABP的中位線，

∴CM=AP，

∴CM的最大值為：，

故答案為：.