Question

3．如圖，已知關于x的二次函數(shù)y=x²+mx的圖象經(jīng)過原點O，并且與x軸交于點A，對稱軸為直線x=1．若關于x的一元二次方程x²+mx-k=0（k為常數(shù)）在-2＜x＜3的范圍內有解，則k的取值范圍-1≤k＜8．

Answer 1

分析 先利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點坐標為（2，0），則利用交點式可求出拋物線解析式為y=x²-2x，則配成頂點式得到當x=1時，y的最小值為-1，接著求出當-2＜x＜3時，y的取值范圍為-1≤y＜8，然后把關于x的一元二次方程x²+mx-k=0（k為常數(shù)）在-2＜x＜3的范圍內有解理解為拋物線y=x²-2x與直線y=k有公共點，于是可得到k的取值范圍為-1≤k＜8．

解答 解：∵二次函數(shù)y=x²+mx的圖象經(jīng)過原點O，對稱軸為直線x=1，
∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為（2，0），
∴拋物線解析式為y=x（x-2），即y=x²-2x，
∵y=（x-1）²-1，
∴當x=1時，y的最小值為-1，
當x=-2時，y=x²-2x=8；當x=3時，y=x²-2x=3，
∴當-2＜x＜3時，y的取值范圍為-1≤y＜8，
∵關于x的一元二次方程x²+mx-k=0（k為常數(shù)）在-2＜x＜3的范圍內有解可看作拋物線y=x²-2x與直線y=k有公共點，
∴k的取值范圍為-1≤k＜8．
故答案為-1≤k＜8．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．解決本題的關鍵是運用數(shù)形結合的思想．