Question

【題目】如圖，，、分別在、上，，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，連接．

（1）求證：

（2）若，，求的周長(zhǎng)和的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△AMC的周長(zhǎng)=+5+8；.

【解析】

（1）如圖，首先證明DF⊥AE，DF=AF=EF，這是解決問題的關(guān)鍵性結(jié)論；運(yùn)用AAS證明△DFC≌△AFM；
（2）依次求出FM、FC、AC、AM、MC，即可的周長(zhǎng)；利用面積公式，即可求出的長(zhǎng).

（1）證明：∵，且，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∵F是AE中點(diǎn)，

∴DF⊥AE，DF=AF=EF；
又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都與∠MAC互余，
∴∠DCF=∠AMF；

在△DFC與△AFM中，

，

∴△DFC≌△AFM（AAS）．
（2）解：∵∠ADE=90°，AD=DE，AF=FE，
∴DF=EF=AF=3，

∵DM=2，

∴FM= 5，

∵△DFC≌△AFM，

∴FC= FM=5，

∴AC=8，

∵∠CFM=90°，

∴CM=5，AM=，

∴△AMC的周長(zhǎng)=+5+8，
∵，
∴，
∴.