Question

如圖，等邊△ABC中，D為AC中點，∠EDF=120°，當點F在線段AB上，點E在BC的延長線上．
（1）AF、CE與AB之間的數量關系是

 

；
（2）BE、BF與AB之間的數量關系是

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的性質

專題：

分析：（1）根據等邊三角形的性質得出AB=AC=BC，∠A=∠B=∠ACB=60°，求出DG=DC，∠GDF=∠CDE，根據ASA推出△DCE≌△DGF，根據全等三角形的性質得出CE=GF，即可得出答案；
（2）根據上題證得的全等可以得到GF=BE，進而可以得出結論；

解答： 證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵D為AC的中點，
∴AD=DC=

1

2

AC，
∵DG∥BC，
∴∠AGD=∠B=∠ADG=∠C=60°，
∴△ADG為等邊三角形．
∴AG=DG=AD，
∴DG=DC，
∵∠EDF=∠GDC=120°，
∴∠GDF=∠CDE，
在△DCE和△DGF中，

∠DGF=∠DCE DC=DG ∠GDF=∠CDE

，
∴△DCE≌△DGF（SAS）；
∴CE=GF，
∴AF-CE=AF-GF=AG=

1

2

AB，
即：AF-CE=

1

2

AB，
故答案為：AF-CE=

1

2

AB．

（2）∵△GDFF≌△CDE，
∴DF=DE．DG=DC．
∵BE+BF=BC+GF+BF，
∴BE+BF=BG+BC
設BA=BC=AC=2a，
∴CD=AD=BG=a，
∴BC+BG=3a，
∴BC+BG=

3

2

AB，
即：BE+BF=

3

2

AB．
故答案為：BE+BF=

3

2

AB．

點評：本題考查了等邊三角形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，線段中點的性質的運用，解答時正確作輔助線證明三角形全等是關鍵．