Question

2．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，有一過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)圓⊙O與斜邊AB相切于動(dòng)點(diǎn)P，則⊙O的半徑r的最大值與最小值之差為（　�。�

• A． $\frac{10}{3}$
• B． $\frac{8}{5}$
• C． $\frac{32}{15}$
• D． $\frac{25}{12}$

Answer 1

分析 直接利用圓的切線性質(zhì)分別得出⊙O的半徑r的最大值與最小值，進(jìn)而得出答案．

解答 解：如圖1，作CP⊥AB于點(diǎn)P，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
則AB•CP=AC•BC，
故5CP=3×4
解得：CP=$\frac{12}{5}$，
即半徑最小值為：$\frac{6}{5}$，
如圖2，當(dāng)P與B重合時(shí)，圓最大．O在BC的垂直平分線上，過(guò)O作OD⊥BC于D，
由BD=$\frac{1}{2}$BC=2，
∵AB是切線，
∴∠ABO=90°，
∴∠ABD+∠OBD=∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠ABC=∠BOD，
∴$\frac{BD}{OB}$=sin∠BOD=sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴OB=$\frac{10}{3}$，即半徑最大值為$\frac{10}{3}$，
⊙O的半徑r的最大值與最小值之差為：$\frac{10}{3}$-$\frac{6}{5}$=$\frac{32}{15}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了切線的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，正確掌握切線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．