Question

【題目】如圖，A，B兩個(gè)工廠(chǎng)位于一段直線(xiàn)形河的異側(cè)，A廠(chǎng)距離河邊AC=5km，B廠(chǎng)距離河邊BD=1km，經(jīng)測(cè)量CD=8km，現(xiàn)準(zhǔn)備在河邊某處（河寬不計(jì)）修一個(gè)污水處理廠(chǎng)E．

（1）設(shè)ED=x，請(qǐng)用x的代數(shù)式表示AE+BE的長(zhǎng)；

（2）為了使兩廠(chǎng)的排污管道最短，污水廠(chǎng)E的位置應(yīng)怎樣來(lái)確定此時(shí)需要管道多長(zhǎng)？

（3）通過(guò)以上的解答，充分展開(kāi)聯(lián)想，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，請(qǐng)你猜想的最小值為多少？

Answer 1

【答案】（1）AE+BE=；（2）此時(shí)最少需要管道10km；（3）最小值為13．

【解析】

（1）由ED=x，AC⊥CD、BD⊥CD，根據(jù)勾股定理可用x表示出AE+BE的長(zhǎng)；（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知連接AB與CD的交點(diǎn)就是污水處理廠(chǎng)E的位置．過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于F，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)即可；（3）根據(jù)AE+BE=+=AB=10；即可猜想所求代數(shù)式的值．

（1）在Rt△ACE和Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理可得AE=，BE=，

∴AE+BE=+；

（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知連接AB與CD的交點(diǎn)就是污水處理廠(chǎng)E的位置．

過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于F，則有BF=CD=8，BD=CF=1．

∴AF=AC+CF=6．

在Rt△ABF中，BA===10，

∴此時(shí)最少需要管道10km．

（3）根據(jù)以上推理，設(shè)ED=x．AC=3，DB=2，CD=12．

∴當(dāng)A、E、B共線(xiàn)時(shí)求出AB的值即為原式最小值．

當(dāng)A、E、B共線(xiàn)時(shí)+==13，即其最小值為13．