Question

【題目】如圖①，點(diǎn)G是等邊三角形AOB的外心，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B坐標(biāo)為(4，0)，連結(jié)OG．拋物線y＝ax（x﹣2）+1+的頂點(diǎn)為P．

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)與拋物線的對(duì)稱軸；

（2）連結(jié)OP，求當(dāng)∠AOG＝2∠AOP時(shí)a的值．

（3）如圖②，若拋物線開(kāi)口向上，點(diǎn)C，D分別為拋物線和線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，以CD為底邊構(gòu)造頂角為120°的等腰三角形CDE（點(diǎn)C，D，E成逆時(shí)針順序），連結(jié)GE．

①點(diǎn)Q在x軸上，當(dāng)四邊形GDQO為平行四邊形時(shí)，求GQ的值；

②當(dāng)GE的最小值為1時(shí)，求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）A(2，2)，1；（2）﹣1或；（3）①；②y＝（x﹣1）2+

【解析】

（1）由等邊三角形的性質(zhì)可求點(diǎn)A坐標(biāo)，由拋物線的性質(zhì)可求對(duì)稱軸；

（2）分兩種情況討論，由直角三角形的性質(zhì)可求點(diǎn)P坐標(biāo)，代入解析式可求a的值；

（3）①連接AG并延長(zhǎng)AG交OB于H，由等邊三角形外心的性質(zhì)可求GH的長(zhǎng)，由平行四邊形的性質(zhì)可得GD∥OB，GD＝OQ，由平行線分線段成比例可求GD的長(zhǎng)，由勾股定理可求解；

②在OB上截取OM＝BD，連接CM，GM，GB，MD，GD，通過(guò)證明△GDE∽△MDC，可得＝，則當(dāng)GE最小值為1時(shí)，MC最小值為，可得當(dāng)點(diǎn)C與拋物線頂點(diǎn)P重合，且CM⊥OB時(shí)，CM有最小值，即可求點(diǎn)P坐標(biāo)，代入解析式可求解．

解：（1）如圖，連接AG并延長(zhǎng)AG交OB于H，

∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），

∴OB＝4，

∵點(diǎn)G是等邊三角形AOB的外心，

∴AH⊥OB，OA＝OB＝4，∠AOB＝60°，

∴∠OAH＝30°，

∴OH＝OA＝2，AH＝OH＝2，

∴點(diǎn)A（2，2），

∵拋物線y＝ax（x﹣2）+1+＝ax2﹣2ax+1+，

∴對(duì)稱軸為：直線x＝﹣＝1；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥OB于N，交AO于F，

∴ON＝1，

∵點(diǎn)G是等邊三角形AOB的外心，

∴OG平分∠AOB，

∴∠AOG＝30°＝∠BOG，

當(dāng)點(diǎn)P在△AOB內(nèi)，

∵∠AOG＝2∠AOP，

∴∠AOP＝15°＝∠POG，

∴∠PON＝45°，

∵PN⊥OB，

∴∠PON＝∠OPN＝45°，

∴PN＝ON＝1，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)（1，1），

∴1＝a（1﹣2）+1+，

∴a＝，

當(dāng)點(diǎn)P在△AOB外，

同理可得∠AOP'＝15°，

∴∠P'ON＝75°，

∴∠OP'N＝15°＝∠AOP'，

∴OF＝P'F，

∵∠AOB＝60°，P'N⊥OB，

∴OF＝2ON＝2＝P'F，FN＝ON＝，

∴P'N＝P'F+FN＝2+，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，2+），

∴2+＝a（1﹣2）+1+，

∴a＝﹣1，

綜上所述：a＝﹣1或；

（3）如圖，連接AG并延長(zhǎng)AG交OB于H，

∵點(diǎn)G是等邊三角形AOB的外心，

∴AG＝2GH，OH＝BH＝2，AH＝2，

∴GH＝，

∵四邊形GDQO為平行四邊形，

∴GD∥OB，GD＝OQ，

∴，

∴GD＝，

∴QH＝，

∴GQ＝＝＝；

②如圖，在OB上截取OM＝BD，連接CM，GM，GB，MD，GD，

∵點(diǎn)G是等邊三角形AOB的外心，

∴OG＝GB，∠GOB＝∠GBO＝∠ABG＝30°，

又∵OM＝BD，

∴△OGM≌△BGD（SAS），

∴MG＝GD，∠OGM＝∠BGD，

∴∠OGB＝∠MGD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，

∴MD＝GD，∠GDM＝30°，

∵△CDE中CE＝DE，∠CED＝120°，

∴CD＝DE，∠CDE＝30°，

∴∠MDC＝∠GDE，，

∴△GDE∽△MDC，

∴＝，

當(dāng)GE最小值為1時(shí)，MC最小值為，

∴當(dāng)點(diǎn)C與拋物線頂點(diǎn)P重合，且CM⊥OB時(shí)，CM有最小值，

∴CM的最小值為頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)（1，），

∴＝a（1﹣2）+1+，

∴a＝1，

∴拋物線的解析式為：y＝x（x﹣2）+1+＝（x﹣1）2+．

【點(diǎn)題】

考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和垂線段最短等知識(shí)，解題關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形．