Question

如圖，設P是等邊△ABC的一邊BC上的任意一點，連接AP，它的垂直平分線交AB、AC于M、N兩點，求證：BP•PC=BM•CN．

Answer 1

分析：連接PM，PN，證明△AMN≌△PMN，再證△MPB∽△PNC，即可得出結論．

解答：證明：連接PM，PN，
∵MN垂直平分AP，
∴AM=MP，AN=PN，又MN為公共邊，
∴△AMN≌△PMN（SSS），
∴∠MPN=∠BAC=60°，
∵∠BPM+∠CPN=120°，∠BPM+∠BMP=120°，
∴∠BMP=∠CPN，
由∠B=∠C=60°，
∴△MPB∽△PNC，
∴

BP

NC

=

BM

PC

，
即BP•PC=BM•NC．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質以及等邊三角形的性質等問題，能夠熟練掌握．