Question

9．無錫某電器商場根據(jù)民眾健康需要，代理銷售某種家用空氣凈化器，其進(jìn)價(jià)是200元/臺(tái)．經(jīng)過市場銷售后發(fā)現(xiàn)：在一個(gè)月內(nèi)，當(dāng)售價(jià)是400元/臺(tái)時(shí)，可售出200臺(tái)，且售價(jià)每降低10元，就可多售出50臺(tái)．若供貨商規(guī)定這種空氣凈化器售價(jià)不能低于300元/臺(tái)，代理銷售商每月要完成不低于450臺(tái)的銷售任務(wù)．
（1）試確定月銷售量y（臺(tái)）與售價(jià)x（元/臺(tái)）之間的函數(shù)關(guān)系式；并求出自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)售價(jià)x（元/臺(tái)）定為多少時(shí)，商場每月銷售這種空氣凈化器所獲得的利潤w（元）最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)：月銷售量=原銷售量+50×$\frac{原售價(jià)-實(shí)際售價(jià)}{10}$，即可列出函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)供貨商規(guī)定這種空氣凈化器售價(jià)不能低于300元/臺(tái)，代理銷售商每月要完成不低于450臺(tái)的銷售，列一元一次不等式組求解即可得x的取值．
（3）根據(jù)：總利潤=每臺(tái)利潤×銷售量，列出函數(shù)關(guān)系式，將函數(shù)關(guān)系式配方，即可求出最大w．

解答 解：（1）根據(jù)題中條件銷售價(jià)每降低10元，月銷售量就可多售出50臺(tái)，
則月銷售量y（臺(tái)）與售價(jià)x（元/臺(tái)）之間的函數(shù)關(guān)系式：y=200+50×$\frac{400-x}{10}$，
化簡得：y=-5x+2200；
供貨商規(guī)定這種空氣凈化器售價(jià)不能低于300元/臺(tái)，代理銷售商每月要完成不低于450臺(tái)，
則$\left\{\begin{array}{l}x≥300\\-5x+2200≥450\end{array}$，
解得：300≤x≤350．
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-5x+2200（300≤x≤350）；

（2）W=（x-200）（-5x+2200），
整理得：W=-5（x-320）²+72000．
∵x=320在300≤x≤350內(nèi)，
∴當(dāng)x=320時(shí)，最大值為72000，
答：售價(jià)定為320元/臺(tái)時(shí)，商場每月銷售這種空氣凈化器所獲得的利潤w最大，最大利潤是72000元．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對于二次函數(shù)的應(yīng)用和掌握，而且還應(yīng)用到將函數(shù)變形求函數(shù)極值的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠從實(shí)際問題中整理出二次函數(shù)模型．