Question

11．問題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE．
（1）求證：△ACD≌△BCE；
（2）求證：CD∥BE．
拓展探究：
如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE，求∠AEB的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先證出∠ACD=∠BCE，那么△ACD≌△BCE，根據(jù)全等三角形證出AD=BE；
（2）由（1）證得△ACD≌△BCE，得到∠ADC=∠BEC通過等量代換得到∠DCB=∠EBC，有內(nèi)錯(cuò)角相等得到CD∥BE；
（3）證明△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC，由△DCE為等腰直角三角形，得到∠CDE=∠CED=45°，因?yàn)辄c(diǎn)A，D，E在同一直線上，得到∠ADC=135°，∠BEC=135°，于是得到∠AEB=∠BEC-∠CED=90°．

解答 解：（1）∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°-∠CDB=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．

（2）由（1）證得△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，∵∠CDE=60°，
∴∠ADC=∠BEC=120°，
∵∠DCB=60°-∠BCE，∠CBE=180°-∠BEC-∠ECB=60°-∠ECB，
∴∠DCB=∠EBC，
∴CD∥BE；

（3））∠AEB=90°，AE=BE+2CM．
理由：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠AC∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，
∵△DCE為等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°．

點(diǎn)評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．