Question

已知直角坐標(biāo)系中菱形ABCD的位置如圖，C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，3），現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿線(xiàn)段AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q沿折線(xiàn)CBA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求AD、BC之間的距離和sin∠DAB的值；
（2）設(shè)四邊形CDPQ的面積為S．
①求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；
②若存在某一時(shí)刻，點(diǎn)P、Q同時(shí)在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，求此時(shí)S的值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，由直角坐標(biāo)系中菱形ABCD的位置如圖，C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，3），可求得菱形的邊長(zhǎng)與面積，繼而求得高；則可求得sin∠DAB的值；
（2）①分別從當(dāng)0≤t≤5時(shí)與當(dāng)5＜t≤10時(shí)，去分析求解即可求得答案；
②首先根據(jù)題意求得t的值，然后代入①中的面積公式，即可求得答案．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，
∵C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，3），
∴OC=4，OD=3，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC=8，BD=6，AC⊥BD，
∴AB=AD=CD=

OC2+OD2

=5，
則S_菱形ABCD=AD•BH=

1

2

AC•BD，
∴5BH=

1

2

×6×8=24，
解得：BH=4.8；
∴sin∠DAB=

BH

AB

=

24

25

；

（2）①如圖，當(dāng)0≤t≤5時(shí)，
根據(jù)題意得：AP=t，CQ=2t，
則PD=5-t，
∴S_梯形CDPQ=

1

2

（PD+CQ）•BH=

1

2

×（5-t+2t）×4.8=2.4t+12；
當(dāng)5＜t≤10時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥AD，并反向延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，
∵AD∥BC，
∴QM⊥BC，
根據(jù)題意得：AP=t，BQ=2t-5，
則AQ=AB-BQ=10-2t，
∴QN=AQ•sin∠DAB=

24

25

（10-2t），QM=BQ•sin∠QBM=

24

25

（2t-5），
∴S_{四邊形CDPQ}=S_菱形ABCD-S_△APQ-S_△BCQ=24-

1

2

AP•QN-

1

2

BC•QM=24-

1

2

×

24

25

×t×（10-2t）-

1

2

×5×

24

25

（2t-5）=

24

25

t²-

48

5

t+36；

②若點(diǎn)P、Q同時(shí)在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，則需P與Q分別位于二，四象限，
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（

4

5

t-4，

3

5

t），點(diǎn)Q（4-

8

5

t，-

6

5

t）；
∴

3

5

t×（

4

5

t-4）=-

6

5

t×（4-

8

5

t），
解得：t=

5

3

或t=0（舍去），
∴S=2.4t+12=2.4×

5

3

+12=16．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度較大，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想與方程思想的應(yīng)用．