Question

已知斜三角形ABC中，高BD，CE所在的直線交于H，∠A=45°，求∠BHC的度數．

Answer 1

分析：分①△ABC是銳角三角形時，先根據高線的定義求出∠ADB=90°，∠BEC=90°，然后根據直角三角形兩銳角互余求出∠ABD，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式進行計算即可得解；②△ABC是鈍角三角形時，根據直角三角形兩銳角互余求出∠BHC=∠A，從而得解．

解答：解：①如圖1，△ABC是銳角三角形時，∵BD、CE是△ABC的高線，
∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，
在△ABD中，∵∠A=45°，
∴∠ABD=90°-45°=45°，
∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°；
②△ABC是鈍角三角形時，∵BD、CE是△ABC的高線，
∴∠A+∠ACE=90°，∠BHC+∠HCD=90°，
∵∠ACE=∠HCD（對頂角相等），
∴∠BHC=∠A=45°，
綜上所述，∠BHC的度數是135°或45°．

點評：本題主要考查了三角形的內角和定理，三角形的高線，難點在于要分△ABC是銳角三角形與鈍角三角形兩種情況討論，作出圖形更形象直觀．