Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=，D，E分別為AC，AB的中點，BF∥CE交DE的延長線于點F.

(1)求證：四邊形ECBF是平行四邊形；

(2) 當∠A=時，求證：四邊形ECBF是菱形.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

試題(1)根據三角形的中位線定理可得EF∥BC，根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可判定四邊形ECBF是平行四邊形；（2）根據直角三角形中30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半和斜邊的中線等于斜邊的一半可得，，即可得，根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可判定四邊形ECBF是菱形.

試題解析： (1) 證明：∵D，E分別為邊AC，AB的中點，

∴DE∥BC，即EF∥BC.

又∵BF∥CE，

∴四邊形ECBF是平行四邊形.

(2)證法一：

∵∠ACB=，∠A=，E為AB的中點，

∴，.

∴.

又由(1)知，四邊形ECBF是平行四邊形,

∴四邊形ECBF是菱形.

證法二：

∵∠ACB=，∠A=，E為AB的中點，

∴，∠ABC=.

∴△是等邊三角形.

∴.

又由(1)知，四邊形ECBF是平行四邊形,

∴四邊形ECBF是菱形.

證法三：

∵E為AB的中點，∠ACB=，∠A=，

∴, ∠ABC=.

∴△是等邊三角形.

∴.

又由(1)知，四邊形ECBF是平行四邊形,

∴四邊形ECBF是菱形.