Question

19．如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=6cm，AC=12cm．動點P從點A出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度向點B運動，動點Q從點B同時出發(fā)，沿BA方向以1cm/s的速度向點A運動．當(dāng)點P到達點B時，P，Q兩點同時停止運動，以AP為一邊向上作正方形APDE，過點Q作QF∥BC，交AC于點F．設(shè)點P的運動時間為t（單位：s），正方形和梯形重合部分的面積為Scm²．

（1）當(dāng)t=3s時，點P與點Q重合；
（2）當(dāng)t=2.4s時，點D在QF上；
（3）當(dāng)點P在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）是否存在某一時刻，使得正方形APDE的面積被直線QF平分？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)路程÷速度=時間，用AB的長度除以動點P和動點Q的速度和，求出當(dāng)t等于多少s時，點P與點Q重合即可；
（2）當(dāng)點D在QF上時，根據(jù)tan∠DQP=tan∠CBA=$\frac{AC}{AB}=\frac{12}{6}=2$，求出PQ、AP的關(guān)系，進而求出動點P運的路程是多少；然后根據(jù)路程÷速度=時間，用動點P運動的路程除以動點P的速度，求出當(dāng)t等于多少s時，點D在QF上即可；
（3）首先判斷出點E與點F重合時，t=4；然后分兩種情況討論：①當(dāng)3≤t≤4時；②當(dāng)4＜t＜6時；求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式即可；
（4）根據(jù)（3），可得3＜t≤4時，當(dāng)正方形和梯形重合部分的面積為正方形的面積的一半時，正方形APDE的面積被直線QF平分，據(jù)此解答即可．

解答 解：（1）6÷（1+1）
=6÷2
=3（s）．
所以當(dāng)t=3s時，點P與點Q重合．

（2）∵QF∥BC，
∴tan∠DQP=tan∠CBA=$\frac{AC}{AB}=\frac{12}{6}=2$，
∴PQ=0.5DP=0.5AP，
6÷（1+1+0.5）÷1
=6÷2.5÷1
=2.4（s），
所以當(dāng)t=2.4s時，點D在QF上．

（3）如圖①，當(dāng)點D在BC上時，
，
根據(jù)四邊形APDE是正方形，可得DP∥AC，
∴△BDP∽△BCA，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{DP}{CA}$，
∴$\frac{PB}{DP}=\frac{AB}{CA}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，
∴PB=$\frac{1}{2}DP=\frac{1}{2}t$，
由AP+PB=AB，可得t+$\frac{1}{2}t=6$，
解得t=4，
此時，點E與點F重合．
①當(dāng)3＜t≤4時，
如圖②，設(shè)DE交FQ于點H，則重合部分為梯形DHQP，
，
PQ=AP+QB-AB=t+t-6=2t-6，
過點Q作QG⊥DE于點G，
則DG=PQ=2t-6；
由△HGQ∽△BAC，可得HG=$\frac{t}{2}$，
∴HD=HG+GD=$\frac{1}{2}t+2t-6$=$\frac{5}{2}t-6$，
∴S=$\frac{1}{2}（PQ+HD）•DP$=$\frac{1}{2}（2t-6+\frac{5}{2}t-6）$t=${\frac{9}{4}t}^{2}-6t$，
由題意，得當(dāng)t=6時，點P到達B，
②當(dāng)4＜t＜6時，
如圖③，設(shè)DE交BC于點M，DP交BC于點N，
，
則重合部分為六邊形EFQPNM，
由△FAQ∽△CAB，可得AF=12-2t，
∴${S}_{△FAQ}=\frac{1}{2}AQ•AF=\frac{1}{2}（6-t）（12-2t）$=（6-t）²，
由△NPB∽△CAB，可得PN=12-2t，
∴DN=DP-NP=t-（12-2t）=3t-12，
由△DMN∽△ABC，可得DM=$\frac{1}{2}（3t-12）$，
∴${S}_{△DMN}=\frac{1}{2}DM•DN$
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×（3t-12）×（3t-12）$
=${\frac{1}{4}（3t-12）}^{2}$
∴S=S_{正方形APDE}-S_△DMN-S_△FAQ
=${t}^{2}-{\frac{1}{4}（3t-12）}^{2}{-（6-t）}^{2}$
=$-{\frac{9}{4}t}^{2}+30t-72$
綜上，可得S=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{9}{4}t}^{2}-6t，（3＜t≤4）}\\{-{\frac{9}{4}t}^{2}+30t-72，（4＜t＜6）}\end{array}\right.$．

（4）根據(jù)（3），可得3＜t≤4時，
令${\frac{9}{4}t}^{2}-6t={\frac{1}{2}t}^{2}$，
則${\frac{7}{4}t}^{2}-6t=0$，
解得t=3$\frac{3}{7}$，
∵3＜3$\frac{3}{7}＜4$，
∴當(dāng)t=3$\frac{3}{7}$s時，正方形APDE的面積被直線QF平分．

點評 （1）此題主要考查了相似形綜合題，考查了函數(shù)解析式的求法，考查了分析推理能力、空間想象能力的應(yīng)用，考查了分類討論思想的應(yīng)用，要熟練掌握．
（2）此題還考查了行程問題中速度、時間和路程的關(guān)系：速度×?xí)r間=路程，路程÷時間=速度，路程÷速度=時間，要熟練掌握．