Question

如圖，BA平分∠CAD，BC⊥AC于C，BD⊥AD于D，E是AB上一點．
（1）證明：EB平分∠CED；
（2）當(dāng)E點在AB的延長線上或AB的反向延長線時，上述結(jié)論成立么？請證明．

Answer 1

考點：角平分線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）先由角平分線上的點到角兩邊的距離相等得出BC=BD，再利用HL證明Rt△ABC≌Rt△ABD，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得到∠ABC=∠ABD．再根據(jù)SAS證明△BCE≌△BDE，得出∠BEC=∠BED，即EB平分∠CED；
（2）當(dāng)E點在AB的延長線上或AB的反向延長線時，上述結(jié)論仍然成立．當(dāng)E點在AB的延長線上時，先由（1）知∠ABC=∠ABD，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等得出∠EBC=∠EBD，再根據(jù)SAS證明△BCE≌△BDE，得出∠BEC=∠BED，即EB平分∠CED；當(dāng)E點在AB的反向延長線時，先由（1）知∠ABC=∠ABD，BC=BD．再根據(jù)SAS證明△BCE≌△BDE，得出∠BEC=∠BED，即EB平分∠CED．

解答：（1）證明：∵BA平分∠CAD，BC⊥AC于C，BD⊥AD于D，
∴BC=BD．
在Rt△ABC和Rt△ABD中，

AB=AB BC=BD

，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
∴∠ABC=∠ABD．
在△BCE和△BDE中，

BC=BD ∠EBC=∠EBD BE=BE

，
∴△BCE≌△BDE（SAS），
∴∠BEC=∠BED，
即EB平分∠CED；

（2）解：當(dāng)E點在AB的延長線上或AB的反向延長線時，上述結(jié)論仍然成立．理由如下：
當(dāng)E點在AB的延長線上時，如圖1．
由（1）知∠ABC=∠ABD，BC=BD，
∴180°-∠ABC=180°-∠ABD，即∠EBC=∠EBD．
在△BCE和△BDE中，

BC=BD ∠EBC=∠EBD BE=BE

，
∴△BCE≌△BDE（SAS），
∴∠BEC=∠BED，
即EB平分∠CED；
當(dāng)E點在AB的反向延長線時，如圖2．
由（1）知∠ABC=∠ABD，BC=BD．
在△BCE和△BDE中，

BC=BD ∠EBC=∠EBD BE=BE

，
∴△BCE≌△BDE（SAS），
∴∠BEC=∠BED，
即EB平分∠CED．

點評：本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，補(bǔ)角的性質(zhì)，難度適中．正確畫出圖形利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．