Question

12．我們經(jīng)常運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，乙解決一些數(shù)學(xué)問題．下面是通過不斷分割一個面積為1的正方形，得到一系列圖形，觀察圖形可得$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{2015}}$=1-$\frac{1}{{2}^{2015}}$．

Answer 1

分析 由題意可知：第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為$\frac{1}{2}$；第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{2}}$；第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分…，第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$，最后空白部分的面積是1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，由此規(guī)律得出答案即可．

解答 解：∵第1次分割，影部分的面積為$\frac{1}{2}$；
第2次分割，陰影部分的面積之和為$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{2}}$；
…，
第n次分割，所有陰影部分的面積之和為$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{2015}}$=1-$\frac{1}{{2}^{2015}}$．
故答案為：1-$\frac{1}{{2}^{2015}}$．

點評 此題考查了圖形的變化規(guī)律，讀懂題目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解題的關(guān)鍵．