Question

已知二次函數(shù)y=ax²-2bx+c圖象如圖．
（1）判定a、c的符號為a

 

0，c

 

0，若b=2a，則二次函數(shù)的對稱軸為直線x=

 

；
（2）當(dāng)a=1時，二次函數(shù)圖象交x正半軸交于A、B（A在B的左側(cè)），交y軸于點C，頂點為M，若△BOC、△ABM均為等腰直角三角形，求二次函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的條件下，點N為直線y=1上在y軸左側(cè)的一個動點，若以N為圓心，NO為半徑的⊙N恰好與直線AC相切，求N的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由拋物線開口向上得a＞0，令x=0，y=c，從函數(shù)y=ax²-2bx+c圖象得出c＞0，把b=2a代入二次函數(shù)解析式得出對稱軸，
（2）先把a=1代入二次函數(shù)y=ax²-2bx+c得出y=x²-2bx+c，求出點A，B及頂點的坐標(biāo)，由△BOC為等腰直角三角形，得出c=2b-1，由△ABM為等腰直角三角形，得出△AFM為等腰直角三角形，得到b²-c=1，解出b，c即可．
（3）設(shè)N的坐標(biāo)為（a，1），求出NP=

2

3

-a，NO=NH=

a2+1

，利用△NHP∽△COA，列出比例式求出a的值，即可得到N的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由拋物線開口向上得a＞0，
令x=0，y=c，從函數(shù)y=ax²-2bx+c圖象得出c＞0，
當(dāng)b=2a，二次函數(shù)y=ax²-4ax+c=a（x-2）²+c-4a，所以二次函數(shù)的對稱軸為直線x=2，
故答案為：＞，＞，2．
（2）∵a=1，
∴二次函數(shù)y=ax²-2bx+c解析式為：y=x²-2bx+c，
令y=0，得x²-2bx+c=0，解得x=b±

b2-c

，
∴A（b-

b2-c

，0），B（b+

b2-c

，0），
頂點為M（b，c-b²），
∵△BOC為等腰直角三角形，
∴c=b+

b2-c

，即c=2b-1，
如圖1，作y=x²-2bx+c的對稱軸，交x軸于點F，

∵△ABM為等腰直角三角形，
∴△AFM為等腰直角三角形，
∴AF=FM，即

b2-c

=b²-c，
∴b²-c=0（求出來的b=1，c=1，頂點在x軸上故舍去）或b²-c=1
解方程組

c=2b-1 b2-c=1

，得

b=2 c=3

或

b=0 c=-1

（舍去），
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²-4x+3．
（3）如圖2，點H為切點，AC交y=1于點P，設(shè)N的坐標(biāo)為（a，1），

∵二次函數(shù)的解析式為y=x²-4x+3．
∴A（1，0），C（0，3），
設(shè)AC的解析式為y=kx+b，
∴y=-3x+3，
當(dāng)y=1時，代入y=-3x+3，得x=

2

3

，
∴P（

2

3

，1），
∴NP=

2

3

-a，
∵NO為半徑，
∴NO=NH=

a2+1

，
∵∠NPH=∠CMO，∠NHP=∠COM=90°，
∴△NHP∽△COA，
∴

NP

AC

=

NH

CO

，即

2 3 -a

10

=

a2+1

3

，
解得a=-6±3

3

，
∴N₁（-6+3

3

，1），N₂（-6-3

3

，1）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用，涉及二次函數(shù)，方程及相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用等腰直角三角形正確的求出二次函數(shù)的解析式．