Question

17．已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AG，分別交BD、CD于點(diǎn)E、F，連接CE．
（1）求證：∠DAE=∠DCE；
（2）求證：AE²=EF•EG．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形ABCD是菱形可得出△ADE≌△CDE，利用全等三角形的性質(zhì)即可證明∠DAE=∠DCE；
（2）首先利用平行線的性質(zhì)得出∠DAE=∠G，進(jìn)而得出∠G=∠DCE，進(jìn)而可證明△ECF∽△EGC，由相似三角形的性質(zhì)即可證明AE²=EF•EG．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDB；
在△ADE和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDB}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE=∠DCE；
（2）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠DAG=∠G，
∵∠DAE=∠DCE，
∴∠DCE=∠G，
∵∠CEF=∠GEC
∴△ECF∽△EGC，
∴$\frac{EC}{EF}=\frac{EG}{EC}$，
∴CE²=EF•EG，
∵△ADE≌△CDE，
∴EA=EC，
∴AE²=EF•EG．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查菱形的性質(zhì)及相似三角形的判定定理及性質(zhì)等知識(shí)，得出△ADE≌△CDE是解題關(guān)鍵．