Question

17．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，求證：DB²=DC²+DA²．

Answer 1

分析 要證明DB²=DC²+DA²，想到勾股定理，由于BD，AD，DC不在同一個三角形中，連接AC，將△DAB繞點A旋轉(zhuǎn)60°到△ACE的位置，連接ED，證明△CDE是直角三角形即可．

解答 證明：如圖，連接AC，
∵AB=CB，∠ABC=60°，
∴△ABC是正三角形．
∴BC=CA=AB．
將△DAB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°到△ACE的位置，連接ED，
∴DA=AE，BD=CE，∠DAE=∠CAE-∠CAD=∠BAD-∠CAD=∠BAC=60°，
∴△DAE為正三角形．
∴DE=AD，∠ADE=60°．
∴∠CDE=∠CDA+∠ADE=90°．
在Rt△CDE中，由勾股定理得CE²=CD²+DE²．
∴DB²=DC²+DA²．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，能夠充分運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，把要證明的線段轉(zhuǎn)換到一個三角形中，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)一個直角三角形，再根據(jù)勾股定理即可證明．