Question

已知，如圖，AD為Rt△ABC斜邊BC上的高，點(diǎn)E為DA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BE，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE于點(diǎn)F，交AB、AD于M、N兩點(diǎn)．
（1）若線段AM、AN的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x²-2mx+n²-mn+

5

4

m²=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求證：AM=AN；
（2）若AN=

15

8

，DN=

9

8

，求DE的長(zhǎng)；
（3）若在（1）的條件下，S_△AMN：S_△ABE=9：64，且線段BF與EF的長(zhǎng)是關(guān)于y的一元二次方程5y²-16ky+10k²+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)根的判別式△=0，判斷出AM=AN，
（2）判斷出△ADC∽△BDA，△ADC∽△BDA，利用相似三角形的性質(zhì)解答，
（3）根據(jù)面積比等于相似比的平方解答．

解答：（1）證明：△=（-2m）²-4（n²-mn+

5

4

m²）=-（m-2n）²≥0，
∴（m-2n）²≤0，
∴m-2n=0，
∴△=0
∴一元二次方程x²-2mx+n²-mn+

5

4

m²=0有兩個(gè)相等實(shí)根，
∴AM=AN．

（2）解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∠DAC=∠DBA，
∴△ADC∽△BDA，
∴

AD

BD

=

DC

AD

，
∴AD²=BD•DC，
∵CF⊥BE，
∴∠FCB+∠EBD=90°，
∵∠E+∠EBD=90°，
∴∠E=∠FCB，
∵∠NDC=∠EDB=90°，
∴△EBD∽△CND，
∴△ADC∽△BDA，
∴

ED

CD

=

BD

DN

，
∴BD•DC=ED•DN，
∴AD²=ED•DN，
∵AN=

15

8

，DN=

9

8

，
∴AD=DN+AN=3，
∴3²=

9

8

DE，
∴DE=8．

（3）解：由（1）知AM=AN，
∴∠AMN=∠ANM
∵∠AMN+∠CAN=90°，∠DNC+∠NCD=90°，
∴∠ACM=∠NCD
∵∠BMF+∠FBM=90°，∠AMC+∠ACM=90°，
∴∠ACM=∠FBM
由（2）可知∠E=∠FCB，
∴∠ABE=∠E，
∴AB=AE
過(guò)點(diǎn)M作MG⊥AN于點(diǎn)G
由MG∥BD得

MG

BD

=

AM

AB

，
∴

S△AMN

S△ABE

=

1 2 AN•MG

1 2 AE•BD

=

AM2

AB2

=

9

64

，
∴

AM

AB

=

3

8

，
∴

AN

AE

=

AM

AB

=

3

8

，
過(guò)點(diǎn)A作AH⊥EF于點(diǎn)H，
由AH∥FN，
得

EH

HF

=

AE

AN

=

8

3

，
設(shè)EH=8a，則FH=3a，
∵AE=AB，
∴BH=HE=8a，
∴BF=5a，EF=11a，
由根與系數(shù)關(guān)系得，

BF+EF=16a= 16 5 k BF•EF=55a2=2k2+1

，
解得：a=±

5

5

，
∵a＞0，a=

5

5

，
∴BF=

5

，
由∠ACM=∠MCB，∠DAC=∠DBA可知△ACN∽△BCM，
∴

AC

BC

=

AN

BM

=

3

5

設(shè)AC=3b，則BC=5b
在Rt△ABC中，有AB=4b．
∴AM=

3

2

b．
在Rt△ACM中，有MC=

3 5

2

b
由△ACM∽△FCB得

BC

BF

=

CM

AM

，∴

BC

5

=

3 5 2 b

3 2 b

，
∴BC=5．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合性強(qiáng)，難度大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們對(duì)知識(shí)綜合運(yùn)用的能力，命題立意：此題綜合考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，三角形相似的判定及性質(zhì)的應(yīng)用．